Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 413
i

По двум пер­пен­ди­ку­ляр­ным пря­мым, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, дви­жут­ся две точки M1 и M2 по на­прав­ле­нию к точке O со ско­ро­стя­ми 1 дробь: чис­ли­тель: м, зна­ме­на­тель: с конец дроби и 2 дробь: чис­ли­тель: м, зна­ме­на­тель: с конец дроби со­от­вет­ствен­но. До­стиг­нув точки O, они про­дол­жа­ют свое дви­же­ние. В пер­во­на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни M1O = 3 м, M2O = 11 м. Через сколь­ко се­кунд рас­сто­я­ние между точ­ка­ми M1 и M2 будет ми­ни­маль­ным?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t (сек)  — время, про­шед­шее с на­ча­ла дви­же­ния. Ко­ор­ди­на­ты точек за­да­ют­ся фор­му­ла­ми

x= минус 3 плюс 1 умно­жить на t (м) и y= минус 11 плюс 2t (м).

Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми да­ет­ся фор­му­лой

d= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 11 плюс 2t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5t в квад­ра­те минус 50t плюс 130 конец ар­гу­мен­та .

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние до­сти­га­ет ми­ни­му­ма в точке t= минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби =5 и в этой точке по­ло­жи­тель­но: 5 умно­жить на 5 в квад­ра­те минус 50 умно­жить на 5 плюс 130=5. Таким об­ра­зом, при t=5 рас­сто­я­ние между точ­ка­ми M1 и M2 будет ми­ни­маль­ным.

 

Ответ: 5.


Аналоги к заданию № 53: 293 353 383 ... Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2011
Сложность: III
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025